シャッフルワード埋め込み推論は、演算子の積の特定のパターンが簡単な対角行列モデルで再現できるかを問うものである。研究では、発生回数 m ＝ 1、2、4 の場合、任意の有限集合のシャッフルトレースを任意に近似できる対角可換自己随伴縮約行列 X・Y が存在することが示された。さらに、すべての奇数 m ≥ 3 では、縮約ノルム ∥X∥ ≤ 1 を満たす対角可換自己随伴行列 X・Y が存在し、これらはシャッフルトレースをより正確に再現する。これにより、m ＝ 1、2、4 は近似解、奇数 m では完全解という二種類の結果が確認された。 (f1)

奇数回数の場合の証明は、0〜1 区間内に M + 1 個の異なる実数を選び、その値から対角行列を構築する方法を用いた。選択された実数は、縮約行列の対角要素となり、与えられた次数 n の有限集合に対して正確に一致するように調整される。 (f2)

偶数回数の場合、すべての有限トレーシャル・フォン・ノイマン環と自己随伴縮約ペアに対して縮約モデルが成立するための条件は、実数多項式 q が区間 [-1, 1] で非負であれば、線形作用素 Λ(m)×_{A,B}(q) も非負になるという正性条件に等しい。この正性が成り立つと、正の測度 ν(m)_{A,B} が存在し、シャッフル係数を正確に表すことが保証される。 (f3)

ただし m ＝ 6 のケースは未解決である。六段階サイクリックパスを二つの三段階パスに分割して得られるカーネルは一般に半正定値ではなく、正性条件の失敗を示唆している。これにより、m ＝ 6 で縮約モデルが成立するかどうかは不明のままである。 (f4)

以上の結果は、複雑な演算子積が単純可換対角モデルでどの程度忠実に再現できるかについての理解を深めた。