整数 n>10 で gcd(n,6)=1 の場合、フェルマ曲線 F_n を対称群 S_3 で除した商曲線 D_n の自動同型群は単位元のみであることが証明された。これは D_n の幾何学的対称性が多くの場合消滅したことを示す。【f1】

同じ手法により、D_n のヤコビ多様体は複素倍算（CM）を持つことが判明した。CMは、理論的に予期される自由度を提供し、数論的構造の深い意味を持つ要素だ。【f2】

特に n=11 に対しては、Jac(D_{11}) から Jac(Y_{11,2}) へ定義体が ℚ に上がる明示的依存写像 ar{β} が構築された。この写像は次数 11^5 をもち、正規表現における標準極対称化に対して ar{β}^T ar{β}=[11] を満たす。最大等位半群の構造も同時に現れ、（ℤ/11ℤ）^5 と同型であることが示された【f3】

さらに、p≠1 (mod 3) のメタサイクリック商 C_p については、gonality γ(C_p) が \lceil (r+s)/3 \rceil 以上であるという下限が確立された。ここで p=r^2+rs+s^2 と写像され、r,s>0 のときに成り立つ。この結果は、曲線 C_p の幾何学的複雑さが無限に拡大することも示している【f4】【f5】

ただし、解析対象は n>10 で gcd(n,6)=1 に限られ、他の n に対する自動同型群の単純性や CM 性の確認は未検証である。また、n=11 以外では明示的な同型写像は構築されていないという制約も残る【f6】【f7】