近年の論文で、ユークリッド空間に多くの場合埋め込まれた非コンパクトな二側性仮面で、平均曲率が定数でモルス指数が有限であれば、平均曲率は必ずゼロになることが証明された。

証明は、点から最も大きい接球の半径の逆数を重み関数\(\mu\)として定義し、\(\Delta\mu+|A|^2\mu\ge nH\mu^2\)という差分不等式と\(nH\int\mu^3\phi^2\le\int\mu^2| abla\phi|^2\)という重み付き安定性推定を組み合わせて行われた。

この重み付き不等式により、モルス指数が有限であれば平均曲率がゼロであることが排除できる。

重要なのは「適切に埋め込まれている」ことだ。埋め込みが不適切だと、重み付き測度\(\rho\,dV\)を構築できず、不等式の導出が不可能になる。

接球の構造を利用すると、任意のユークリッド球\(B_R\)内での重み付き体積\(\int_{\Sigma\cap B_R}\rho\le C(R+H-1)^{n+1}\)が多項式的に上限付与され、\(\mu\)の増長を制御できる。

本研究は、ド・カルモの長年未解決問題（有限指数仮面の二側性で正定数平均曲率を持つ仮面が最小面になるか）を解決した。