定理の要点は次の通りです。可算離散群 Γ と任意の Γ‑C*代数 A に対し、自然な Γ‑同変写像 π: EΓ → ĒΓ が誘導する写像 π_*: KK^Γ_*(EΓ,A) ⊗_Z Q → KK^Γ_*(ĒΓ,A) ⊗_Z Q は単射である（定理1.2）。ここで EΓ は Γ の自由かつ proper（安定化群が有限）な作用の普遍空間、ĒΓ は proper な作用の普遍空間を指します。著者らは証明で II_1 因子や実係数の等変 KK‑理論を用いず、より直接的な（elementary）手法を用いると明記しています。

主要な構成要素として、有限な proper Γ‑CW 複体 X に対して Lück–Oliver の等変チェルン標数を用い、有理的冪等元 e_X ∈ K^0_Γ(X)⊗Q を構成します。これらの冪等元は X に関して自然であり、軌道 Γ/H に対しては e_{Γ/H} が ε_H（左正則表現 C_H のクラスを |H| で割ったもの）に対応するという性質を持ちます。さらに K^0_Γ(X) は Kasparov 積により KK^Γ_n(C_0(X),B) に作用し、この作用は有理化して K^0_Γ(X)⊗Q が KK 群⊗Q に作用する形で拡張されます。

証明の流れはまず可算な Γ‑CW モデルを選び、有限な Γ‑部分複体と可分な係数代数について帰納極限を取ることによって全体の問題を有限部分複体上の問題に還元することです。結果として、全体の単射性は各有限な proper Γ‑CW 複体 X と可分な Γ‑C*代数 B に対する写像 (p_X)_*: KK^Γ_*(EΓ×X,B)⊗Q → KK^Γ_*(X,B)⊗Q の単射性の証明へ還元されます。

軌道の場合（X=Γ/H, H は有限部分群）では、圧縮（compression）写像と移送（transfer）写像を構成し、その合成を有限 H‑部分複体 Δ 上で計算します。合成は Δ×C_H に対応する作用と一致し、結果として組み立てた際に J_E◦R_E = |H|·id という恒等式が得られます。ここから [V]=|H| e_X（V は正則表現に対応する束）を用いて有理的な分裂写像 σ を構成し、軌道の場合の単射性を得ます。

一般の有限 proper Γ‑CW 複体については次数についての帰納法を行います。切除とサスペンションにより長完全列を得て、冪等元による作用が境界写像と整合することを確かめます。相対項は軌道場合に還元でき、五補題を適用することで (p_X)_* が冪等元 e_X による像 e_X·KK^Γ_n(X,B)⊗Q への同型を誘導し、したがって単射であることを示します。

意義と注意点。今回の結果は、自由かつ proper な普遍空間 EΓ から一般の proper な普遍空間 ĒΓ へ移す際に、有理化すれば等変 KK‑理論の非零元が消えないことを示します。これは Antonini–Azzali–Skandalis による「実係数の等変 KK‑理論で π_* が分裂単射である」という既知の定理に対応する有理化された主張を、II_1 因子や実係数を用いずに示した点で補完的です。重要な制約として、本定理は有理化（⊗Q）した場合の単射性であり、積分的単射性（有理化しない場合）は主張していません。また議論は Γ を可算離散群とし、可分な Γ‑C*代数や可算な Γ‑CW モデルを仮定して進められています。