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一次計画（LP）の書き方を変えると、プライマル-デュアル・ハイブリッド勾配法（PDHG）に基づく一階手法の速度が6.4〜9.6倍に向上することが示されました。
PDLPと呼ばれるオープンソースのPDHG実装は、制約を投影ステップに取り込む「再構成レシピ」を適用すると、デュアル変数の次元が削減されます。すると、再スタートや終了判定、距離スケール、鋭さ係数といったアルゴリズムを制御する4つの定数が変化します。
二つの代表的なLP緩和問題、QUBO（量子ビナリ最適化）とJRP（共同補給問題）に対し実験を行った結果、再構成後のソルバーはGPU版LPソルバーcuPDLPxより6.4〜9.6倍、6.1〜28.9倍の速度向上を示しました。さらに、イテレーション数はQUBOで1.7〜4.3倍、JRPで13.6〜52.3倍の減少でした。
| Gurobi | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Edges | Instances | PRAQ | cuPDLPx | Max-flow | s | ||
| solved |
|---|
| cuPDLPx/PRAQ |
|---|
| 103–104 | 897 | 0.0054 | 0.052 | 0.0026 | 0.10 | 897 | 9.6 |
| 104–105 | 767 | 0.012 | 0.080 | 0.024 | 1.4 | 767 | 6.8 |
| 105–106 | 385 | 0.048 | 0.36 | 0.47 | 83 | 290 | 7.5 |
| 106–107 | 193 | 0.59 | 3.7 | 13.2 | — | 0 | 6.4 |
| 107–108 | 40 | 3.7 | 28.4 | 96.6 | — | 0 | 7.7 |
| cuPDLPx | Gurobi | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x variables | Instances | PRIA | s | solved | s | solved | cuPDLPx/PRIA |
| 103–104 | 100 | 0.031 | 0.187 | 100 | 0.087 | 100 | 6.1 |
| 104–105 | 135 | 0.136 | 1.32 | 135 | 2.14 | 135 | 9.7 |
| 105–106 | 75 | 0.61 | 17.5 | 74 | 72.9 | 73 | 28.9 |
| 106–107 | 40 | 2.88 | 80.4 | 30 | — | 0 | 27.9 |
| 107–108 | 13 | 11.3 | 234 | 8 | — | 0 | 20.8 |
図で示されているように、QUBOでは各インスタンスサイズで速度が最大9.6倍に伸び、JRPでは最大28.9倍に伸びています。
ただし、デュアル変数を削減した利得は、吸収された制約が投影コストを増大させた場合に打ち消される可能性があります。特にJRPでは、投影操作が重くなり速度改善が限定的になるケースも観測されました。
これらの結果は、PDHG型LPソルバーにおいて再構成戦略が大きなパフォーマンス向上をもたらすことを示唆していますが、投影コストが増す場合には注意が必要であることを示しています。