ハインズは、最大次元の正折式アルコーブウォークが、パラボリック・Mirković–Vilonen（MV）交差点のトップ次元の不可約共通体をパラメータ化できることを示した。具体的には、$ ext{LU}_{M}t_{ u} ext{K}/ ext{K}igcap ext{Kt}_{oldsymbol{ u}} ext{K/K}$ の各成分を、裏側に存在する蓋の頂点を含むアルコーブに変換してラベル付けする方法を提示した。

次に、これらのウォークに対してクリスタル構造を導入した。ガウセンツ・リッテルマンの LS ガラリークリスタルから骨格写像 $ ext{sk}$ を介して移転させ、カシワラ根演算子 $e_eta,f_eta$ と整合することを示した。骨格写像は、ハインズのモデルに情報を失わせないと証明された。

さらに、レヴィ分枝多重度 $[V_{G}(oldsymbol{ u}):V_{M}( u)]$ を、終端頂点が $- u$ となる LS ガラリーの数、あるいは等価に最大次元のアルコーブウォークの数と等しいことを示し、レヴィ分枝規則を明確な組み合わせ的パラメータ化に置き換えた。

ただし、骨格写像のbijective性は最大次元ウォークに限定される。正折式ウォーク全体に対しては、骨格が同じでも次元が異なるケースが存在し、特に $B_2$ 型（例：$G= ext{SO}_5$）では同一 LS ガラリーに対して最大次元と非最大次元の二つの正折リフトが存在するため、全集合に対しては対応付けが失われる。