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最近の研究で、ツリー構造に関する判定問題TreeEQµの分散量子Merlin–Arthur（dQMA）プロトコルが、1ラウンドでµlog n量子ビットだけで検証できることが示された。対照的に、同じ問題をクラシックでµラウンド実行する分散MAプロトコルでは、少なくともn/(µ log² n)ビットが必要である。これはネットワークサイズに関わらず指数的な量子優位性を確立している。
同研究では、グラフ対称性問題SYMについても1ラウンドdQMAプロトコルを構成。ノードごとに約O~(n^{5/3})量子ビットを用いるだけで、非自明な自動同型が存在するかを検証できる。クラシックはµラウンドでΩ(n²/µ)ビットが必要とされ、同様にポリノミアルな量子優位性が観測される。
これらの結果は表1にまとめられ、TreeEQµではO(µ log n)対Ω(n/(µ log² n))、SYMではO~(n^{5/3})対Ω(n²/µ)という量子とクラシックの境界差を示している。
| Property | One-round 𝖽𝖰𝖬𝖠: qubits per node and message | μ-round 𝖽𝖬𝖠: certificate bits per node |
|---|---|---|
| TreeEQμ | O(μlogn) | Ω(n/(μlog2n)); fixed μ≥1 |
| SYM | O~(n5/3) | Ω(n2/μ); μ=o(n) |
| SYMD | O(nDlogn) | Ω(n2/μ); D≥5, μ≤D−4, μ=o(n) |
| EQN2 | O(min{rlogN,N2/3(logN)5/3}) | Ω(N/μ) if r≥2μ+1 [25, Theorem 9] |
|---|
ただし、量子プロトコルにも制限がある。3つ以上の辺を持つパス上の等価判定については、1ラウンドのdQMAでもあるノードでΩ(log N)量子ビットが必要とされる。また、SYMに対するクラシックµラウンドdMAプロトコルはΩ(n²/µ)ビットが必要であることが証明されている。これらの条件下では、量子プロトコルがクラシックプロトコルを上回ることが保証されている。