有限拡大 K / ℚp で統一元 π を持つとき、研究者は整数行列 A の指数 q^r と q^{r-1} の跡が π^{E_r} で割り切れる最大指数 E_r を決定した。これは残差相似クラスが与えられたときに成り立つ。

各残差クラス（nilpotent および非 nilpotent）について具体的な式を示し、その式に合致する整数行列を構成したことで、理論的最適度を実証した。

さらに、同じ巻き上げ指数 e と優化域 𝔽_q を持つ局所体でも、最適指数 E_r が異なる例を示した。この現象は、巻き上げ指数と残差場だけでは指数を決定できないことを示す。

つまり、局所体のより微細な算術データがオイラー跡同型の指数に影響を与えることが明らかとなり、従来の見方に一新が求められる。