有限窓で矩形帯域制限信号を観測すると、固有値が1つと0に近い二群に分けられる。磁場の中間に現れる遷移幅は対数的に増大し、係数は 1/π² であって帯域幅やしきい値には依存しない。 これは Landau と Widom が示した結果であり、離散版では α∈(0,1) の時、λ_n>α を満たす数は 2WN + (1/π²) log((1-α)/α) log N + o(log N) となる。

矩形帯域を M 個の離散帯域に分割すれば、遷移幅は M 倍になる。すべての帯域端が同じ 1/π² 定数を寄与し、対称遷移の数は 2M/π² log((1-α)/α) log N になる。

一方で象徴が連続（平滑）であれば、古典的な対数遷移は現れない。固有値は連続して配置され、対流的に減衰するため、対数幅に基づく解釈は不可能になる。

これらの結果は符号化された Toeplitz 集中演算子のシンボルに Szegő の定理を適用して得られ、p 次ハダマード冪を取ると指数 p-1 のべき律が現れる。

この研究は、時間-周波数集中演算子のスペクトルプロファイルを解釈するための理論的基準を提供し、矩形帯域と平滑帯域で異なる挙動が現れる理由を説明する。