最近、数論家のチームが、パニシクン条件を満たし重み-1の純粋な対称自己対偶$p$-adicde Rhamガロア表現に対する相対的な$p$-不対称性予想を証明しました。これは、ある表現$V_1$と$V_2$のグローバルルート番号の比が、サイクリック$oldsymbol{ extbf{Z}}_p$-拡張上で定義された局所不変量の差の偶奇に等しいことを示すものです。

証明では、サイクリック拡張上でBloch‑Kato条件と厳密条件が一致することをSen理論で示しました。これにより、$p$で定義される新しい局所不変量（厳密セイル空間の次元）と、$p$以外の素数$oldsymbol{ eq}oldsymbol{p}$でのローカルIwasawa$oldsymbol{eta}$-不変量の両方が、グローバルルート番号比を表す式に直接現れます。

結果として、現在知られている$p$-不対称性予想が、軌跡が2以上のケース（CM Hida家族のArtinトゥイスト、普通のモジュラー形式の正交Artinトゥイスト、Hida家族に沿った対称三次、楕円面族など）に拡張されました。さらに、特定の数値例が既に無条件に確認されています。

ただし、この相対的な予想は、$V_1$のサイクリック拡張上のSelmer群が$oldsymbol{O}$-torsionであり、その$oldsymbol{O}$-μ不変量が0である場合にのみ適用可能です。非ゼロのμ不変量が存在すると、並列性の議論とSelmer余次の比較は破綻します。