最近の研究で、Boolean 関数のフーリエ分布のシャノンエントロピーは、点ごとの 1/3 ≈ 近似に対する最小スペクトルノルムの対数で制御できることが示された。

研究者は、スペクトルノルムが小さい近似関数を段階的に精度よく作り、これを利用してエントロピーに対する上限を導出した。具体的には、フーリエ係数の二乗分布のエントロピーは O(log(1+‖f̂‖_{1,1/3})) の量で制限される。

従来の最小エントロピーの上限と比べ、今回の不等式は発散する対数項を排除し、1/3 近似のスペクトルノルムに対する単純対数依存となっている。これにより、関数のランダム化パリティクエリ複雑度 R^{⊕}(f) も O( R^{⊕}(f) ) で上限付けられる。

さらに、指標関数を非負重み付き直交部分空間の和として表した一般的な枠組みでは、平均コニカルジャンタ次数によりエントロピーがさらに制限される。これらの結果は、量子コミュニケーション複雑度において一部の XOR 関数の下限を改善する可能性を示唆しているが、実用化への応用はまだ理論段階である。