多変量多項式の全体最小値を求めることは計算上難しい問題である。発表された研究では、ある条件を満たす多項式に対して、十分に強いユークリッド正則化を加えると、正則化後の多項式が一次の和（Sum‑of‑Squares, SoS）に正確に表現できることが示された。正則化項は、

\(m_{\theta}(s)=P(s)+\frac{\theta}{2d}\lVert s \rVert _2^{2d}\) と定義され、次数が\(p\)までで、\(2d>p\) を満たす偶数\(2d\)である。

この正則化が十分に強いと、ある\(\theta\) を超えたときに正則化項が低次項の摂動を吸収し、\(m_{\theta}\) が正確に和の平方として表せるようになる。

さらに、\(\theta\) が最適解\(s^*_{\theta}\) で最小化される値\(\bar m_{\theta}\) を引いた「シフト多項式」\(q_{\theta}=m_{\theta}-\bar m_{\theta}\) は、\(\bar m_{\theta}\) を中心とした非定数単項式に対して正定値グラム行列を持ち、次数\(d\) の SoS で表される。

この性質により、一次の SDP で全体最小値とその取得点を正確に求めることができる。一次の SDP のサイズは、\(d\) を固定したときに次元に対して多項式的にしか増えない。

証明は、ユークリッド正則化の Bregman 再帰の厳密なグラムマージンを利用する。マージンは\(\theta\) とともに増大し、低次摂動を十分に凌駕する閾値を超えると SoS 正確性が保証される。

本研究では、ユークリッド正則化が十分に強い場合に小さなユークリッド球内での最適化にも同様の SDP 正確性が得られることを示し、トラストリジョン問題との関連を示した。さらに、座標分離型正則化（例えば\(\sum_i |s_i|^{2d}\)）では、Bregman 再帰が混成単項式方向を生成できず、正定値グラム表現が成立しないため、SoS 正確性が失われるという制限を明らかにした。

本発見は、非負多項式が必ず SoS 表現を持つとは限らないという長年の課題を解決し、幅広い多項式最適化問題に対して、従来必要だった高レベルの SoS 階層を必要とせず、単一レベルの SDP で正確な解を得るための実用的手法を提供するものとなる。