整数量子ホール（IQH）インサータとチラルスピン液体（CSL）の間に転移が起こるが、単一電子ギャップは閉じないことが示された。IQH 相は弱い相互作用で確認され、CSL 相は強い相互作用で検出された。転移近辺では、中性領域と電荷 3 e（トリオン）領域の相関長が増大する一方で、単一電子相関長は短いままである。これにより、Chern–Simons–Higgs クリティカル理論の支持が得られた。

研究では SU(3) 三角格子 Hofstadter–Hubbard モデルを並列テーパー・ドメン・リニマリゼーション( infinite density matrix renormalization group, iDMRG )で計算した。診断方法に、電荷ポンピング、占有分解スピンの遠称性、エンタングルメントスペクトル、転移行列相関長が用いられた。

電荷ポンピングにより弱い相互作用では電気抵抗が 3 e²/h であることが確認でき、相互作用 U ≈ 12 でこの値が逸脱して転移を示した。強い相互作用側では、エンタングルメントスペクトルが SU(3)₁ Wess–Zumino–Witten の予測と一致し、CSL 相が確定した。

相関長の数値は、中性領域が約 0.25 から 0.36、電荷 3 e 領域が約 0.14 から 0.38 に増加し、単一電子領域はほぼ 0.14 のまま変化しなかった。これらの結果は、クリティカル点で中性およびトリオンの変動が拡大していることを示唆している。

ただし、使用された有限円筒と限られた結びつき次元のため、完全な二次元、普遍的な臨界挙動を確認するには、より大きい円筒半径と結びつき次元が必要である。数値フィットは実効指数しか示しておらず、Chern–Simons–Higgs 理論による正確な臨界指数はまだ得られていない。