主な発見： このコンペンディアは、実用的に意味ある量子優位（classicalよりも超二次的に高速になる見込みがある）のある計算問題を、アルゴリズムではなく問題の構造的性質に着目して体系的にまとめたものです。対象は非量子専門の計算背景を持つ研究者や実務者です。短く言うと、どの問題が実際に量子計算で大きな時間優位を得られるかを明示するための参照集です（F1、F17）。

方法と定義： コンペンディアは「オフライン非オラクル時間計算量」に限定して検討します。ここで焦点となるのは超二次（super-quadratic）速度向上であり、これは古典コストが量子コストの2乗よりも速く増大する漸近的分離を指します（対数因子などの補正を含める場合があります）。2次（平方根）程度の速度向上は範囲外と明確にしています（F2）。 また、問題を発展段階で分類するStages枠組みを採用し、Stage I（理論的な原始的アルゴリズム）とStage II（具体的なインスタンスで優位が期待されるもの）に分け、Stage IIの事例を先に示します（F3）。 オラクルに依存する分離（効率的に実現できるオラクルが知られていない場合）は除外します。これは、オラクル実体化の手段がない結果は応用に結びつかないためです（F4）。 さらに、最悪ケースの漸近解析と平均ケースや約束問題の結果を区別します。入出力（I/O）、状態準備、出力抽出、エラー訂正、コンパイルなどの実装上のオーバーヘッドが優位を打ち消す可能性がある点を明示して扱います（F5、F6、F18）。 ヒューリスティック（経験的に良好だが一般保証のない手法）と証明つきアルゴリズムは区別されます。ヒューリスティックは、古典と量子の比較が解の質、成功確率、インスタンス分布、計算コストの点で同等に定義できる場合にのみ含めます（F7）。 各項目には「最大量子速度向上」ラベルを付けます。これは文献で報告されている最も強い速度向上を一語で示すサインポストであり、前提と限界は本文で説明します（F16）。

具体的な結果（本文献で取り上げられている代表例）は次のとおりです。 - 整数因数分解：古典の最良法（Quadratic SieveやGeneral Number Field Sieve）はlog Nに関して準指数時間的な（subexponential）複雑度を示します。一方でショアの量子アルゴリズムはlog Nに対して多項式時間で動作します。これは古典最先端との間に漸近的な超多項式分離を生じさせます。暗号学上重要な半素数（semiprimes）が対象になる点が議論されています（F8、F9）。

- 離散対数：有限体上の離散対数に対しては、古典はIndex-Calculus系列で準指数時間的なアルゴリズムを持つのに対し、ショアの量子アルゴリズムはlog qに対して多項式時間で解きます。楕円曲線離散対数（ECC）では、古典は群の位数の平方根程度の時間を要するPollard型手法が最良とされるのに対して、量子では多項式時間となり、特に楕円曲線設定で明確な分離があります（F10）。

- ペル方程式（レギュレーター算出）：Hallgrenの量子アルゴリズムは判別式dに対してlog dに関する多項式時間でレギュレーターを計算します。一方、既知の古典手法は判別式に対して準指数時間であり、入力長に対して超多項式となることが知られています（F11）。

- 代数曲線の点数計算：古典的な手法は固定した種数gではlog qに対して多項式時間です。しかしKedlayaの量子的アプローチは、種数gとlog qの両方に対して多項式時間でジータ関数を求めます。したがって、gとlog qが共に入力サイズとともに増加するスケーリング領域では、量子と古典の分離が意味を持ちます。Kedlaya法はヤコビアンを有限アベリアンのブラックボックス群として扱い、その位数を量子アルゴリズムで求めることでジータ関数を再構成します（F12、F13）。

- 指数合同式 af^x + bg^y = c over F_q：古典の最悪ケース上界はおおむね q^{3/4+o(1)}（特定cでは改善あり）です。van DamとShparlinskiはショアの離散対数法とグローバー探索、character-sumの解析を組み合わせ、量子の最悪ケース実行時間をおおよそ q^{3/8}(log q)^{O(1)} とする評価を示しました（F14）。