平面グラフに対して、セミトータル支配集合問題のパラメータ化版が線形カーネルを持つことが示された。このカーネルは、解集合のサイズ k に対して最大 358k 個の頂点しか残さない。

研究者は、ノードのタイプ別に分けた3つの多項式時間帰納規則を用いてグラフを縮約した。ルール 1 は隣接領域内のタイプ‑2・タイプ‑3 ノードを1個のペンデント点に置き換え、ルール 2 は2つの頂点の共通隣接領域を整理し、ルール 3 は簡易領域を1〜2個の頂点に置き換える。この3段階の折りたたみを徹底的に実行すると、残る頂点数は 87·(3k–6)+97·k と評価され、常に 358k を下回る。

縮約後の頂点数が 358k を超える場合は、その入力は「解なし」とすぐに棄却される。最終的なアルゴリズムは多項式時間で実行でき、実行時間の上限は O(n³) である。

この成果は、平面グラフ上の支配集合関連問題で知られる線形カーネルに新たな手法を加えるものとして評価されるが、分割グラフや t‑クローンフリーグラフ、円グラフに対してはまだ W[2]/W[1] の難解性が残る点が注意事項となる。