エルデシュが1974年に提起した同型問題の大規模版を、多くの場合解決した研究が報告されました。任意の無限集合A⊂ℝと、0<ε<1を与えると、閉集合S⊂ℝを構築でき、Sはすべての単位区間で少なくとも1−εのLebesgue測度を持ち、かつAの非平凡なアフィン写像（スケールと平行移動のみで構成される写像）のコピーを含まないことが示されました。

証明は確率的構成によるものです。小さな区間をランダムに削除しながら対称性を保つことで、Sが(1−ε)-大きさになることを保証します。この手法により、SはAのいかなる拡大・平行移動も取り込まないことが確認されました。

しかし、単位区間内でSが1に近づく速度は、集合Aに依存しないように自由に設定できるわけではありません。確率的議論を用いて、区間内でのSの補集合の測度がある閾値以下になると、ある無限列の正比例コピーが必ず存在することが証明されています。したがって、Aの具体的な構造により、Sの構築に制限が課されます。

この成果は、測度の正の集合におけるパターン回避の理解を進め、無限集合に対する大規模構造が存在することを示す初めての例として重要です。