主な発見。巡回（サイクリック）な数体 K と L について，整数環 O_K に標準の双線形形式 (x,y) ↦ Tr_{K/ℚ}(xy) を付けた積分トレース格子 T_K と T_L が等長（同型）であることは，次の三条件が同値であることと同値です。次数 [K:ℚ] が等しいこと，体の署名 sig(K) が等しいこと，および符号付き判別式 Disc(K) が等しいこと（署名を保持すれば符号付き判別式は絶対値でも可）。（fact1）

証明の構成。証明は算術的復元と格子比較に分かれます。まず局所情報の復元を行います。奇数素数 p に対しては，次数と判別式の p-進指数 v_p(|Disc(E)|) により，局所キャラクター部分群 Y_{E,p} ⊂ X_p が一意に決まります。これにより各奇素数での局所的な分岐データが全体の次数・判別式から復元されます（p 奇数の扱い）。（fact4）

2-進所では次数と判別式から部分群は復元されますが，生成元の偶奇（パリティ）に関して一通りのあいまいさが残ります。このあいまいさは全体の体の署名によって解消され，巡回体の場合は Y_{K,2} まで一意に決定できます（dyadic の扱いとパリティ解決）。（fact5）

トレース形式の具体的取扱い。整数環の比較には Leopoldt による付随的次数環 A_E の記述を用います。Leopoldt によれば O_E はその付随的次数環 A_E に対して一階自由であり，A_E は Z[G] と特定の直交射影により記述されます。野生分岐がある場合に O_E が必ずしも Z[G] 上自由でない点をここで扱います。（fact6）

また，ガウス和と標準的なキャラクター解決子（character resolvent）を使ってトレース対を明示的に表現します。公式 (22) により，Tr((a Θ_E)(b Θ_E)) は群の位数 |G| に比例するキャラクター和として書かれます。和の各項には ̂a(χ) や ̂b(χ^{-1}) といったフーリエ変換の因子，χ(−1)，各文字の導体 f_χ，および交差次数 d_{E,m} などが現れます。これらの要素を組み合わせることで，付随的次数環上の基礎を用いたトレース比較が可能になります。（fact7）

一般化された文字群の主張。有限可換拡大 E, F に対して，ディリクレ文字群 X_E と X_F の間に，各文字の導体（コンダクター）と偶奇を保存する群同型 ι が存在するとき，その同型は積分トレース格子の等長を誘導します。等長写像はガロア群の双対同一視に対して同変に選べます。巡回体の文脈では，次数・署名・判別式がこれらの文字群とその導体・偶奇を決定し，したがって同型を構成できます。（fact2，fact8，fact9）

帰結と例。これにより，野生分岐する巡回体について Bolaños の予想が成り立つことが示されます。一般には署名を追加の不変量として保持する必要があるため，従来のタメ（穏やか）な場合の分類は拡張されます。タン プ（穏やか）な場合、すなわち 2 で分岐しない場合には導体が平方因子を持たないため付随的次数環は Z[G] に等しく，次数と判別式だけで署名も決まるので次数と判別式で格子が決まります。（fact3，fact10）

制約と注意点。署名の仮定は外せません。たとえば次数 4 の巡回体 K_+ = ℚ(√2+√2) と K_- = ℚ(√−2−√2) は同じ符号付き判別式 2^{11} と導体 16 を持ちますが，一方は全実，もう一方はすべて虚数的であり，トレース形式の実数上の符号が異なるため，等長にはなりません。この具体例は署名が異なれば判別式の一致だけでは等長に至らないことを示します。（fact11）