可換な行列が与えられたとき，生成される代数の次元が行列の大きさに対して線形に限定されることが示されました。具体的には，$m$ 個の可換行列 $A_1, op,A_m$ が $n imes n$ 行列であるとき， $ \dim _\mathbb{F}\mathbb{F}[A_1, op,A_m]\le (2^m-1)(n-1)+1

g。この式はベルグマンが提起した線形上限の存在に関する質問に対する答えです。

証明では，最大ランクに関する議論と多項式環 $\mathbb{F}[x_1, op,x_m]$ のコロング不等式を用いました。まず，ベクトル空間 $V=\mathbb{F}^n$ と代数 $R=\mathbb{F}[A_1, op,A_m]$ を取り，$v\in V$ に対し $W=Rv$ が最大の次元を持つように選びます。すると，$W$ のアノニミレータと多項式環におけるアノニミレータが相互に含まれる関係を利用し，上記の線形上限を導出します。

さらに，代数と行列サイズの比の上限である $c_m(\mathbb{F})$ を調べると， $ \lim_{m\to\infty}\frac{\log c_m(\mathbb{F})}{m}=\log 2

gとなり，$c_m(\mathbb{F})$ は底が 2 の指数関数的成長を示します。

ただし，$m\ge3$ かつ $n\ge4$ では，可換 $m$‑タプルの多様体が既約でなくなるため，$m=2$ のときに利用できた幾何学的アプローチは拡張できません。したがって，先行研究の手法はこの結果を全範囲に適用できません。

本研究は理論的な成果であり，実際のアルゴリズムや応用に直接影響を与えるものではありません。