主な結論。有限体 F_q 上のハミング空間 F_q^n について、任意の点対のハミング距離が最大で d となる集合（d‑アンチコード）の総数 |𝒜_q(n,d)| は、固定の q で n→∞ のとき、4 ≤ d ≤ n−1（ただし q=2 かつ d=n−1 を除く）で |𝒜_q(n,d)| = 2^{(1+o(1)) m_q(n,d)} を満たします。ここで m_q(n,d) は直径 ≤ d の最大アンチコードの要素数です。(fact:general_asymp_count)

手法の要点。包含極大な d‑アンチコードは、自分自身の点のうち高々 2d+1 個を中心とするハミング球の共通部分として表せます。つまり包含極大アンチコードは ≤2d+1 個の点で決まります。これを用いて包含極大アンチコードを順序付き点列で符号化し、個数に上界を与えます。一方で、最大アンチコードの任意の部分集合もアンチコードになるため下界 2^{m_q(n,d)} が常に成り立ちます。上界と下界を合わせることで上の漸近等式が得られます。(fact:helly_determines_maximal)(fact:count_maximal_via_ordered_lists)(fact:lower_bound_subsets_maximal)

小さい直径と二値の端点。d ∈ {1,2,3} のときは挙動が異なり、固定 q に対して総数は対数スケールで線型になり |𝒜_q(n,d)| = 2^{Θ_q(n)} です。(fact:small_d_counts) 一方、二値空間の端点 q=2 かつ d=n−1 では挙動が例外的です。F_2^n は 2^{n−1} 個の補集合ペアに分割され、各ペアについて「どちらも選ばない／片方だけ選ぶ」の 3 通りの選択があるため、|𝒜_2(n,n−1)| = 3^{2^{n−1}} となります。最大アンチコードの大きさは m_2(n,n−1)=2^{n−1} であり、したがって log_2 |𝒜_2(n,n−1)| = (log_2 3)·2^{n−1} = (log_2 3)·m_2(n,n−1)，すなわち |𝒜_2(n,n−1)| = 2^{(log_2 3) m_2(n,n−1)} となり、一般則とは係数が異なります。(fact:binary_endpoint_exception)

線形アンチコード（部分空間）の数え上げ。線形性を課すと挙動が変わります。支持（support＝非ゼロ座標の集合）ごとに分解して数えます。全支持の線形 d‑アンチコードが存在しうる支持サイズは s ≤ ⌊ qd/(q−1) ⌋ であり、これが分解の上限になります。(fact:support_decomposition)(fact:support_bound) その結果、以下が成り立ちます。固定 d のときにはある整数 σ_q(d) が存在して |L_q(n,d)| = Θ_{q,d}(n^{σ_q(d)})（d ≤ σ_q(d) ≤ ⌊ qd/(q−1) ⌋）。特に q > d+1 の場合は σ_q(d)=d。d→∞ かつ d=o(n) のときは |L_q(n,d)| = q^{Θ_q(d^2 + d log_q(n/d))} です。d/n→α∈(0,1) の場合は下界 q^{(α^2/4+o(1)) n^2} と上界 q^{(γ^2/4+o(1)) n^2} があり、ここで γ = min{1,qα/(q−1)} です。さらに n−d=o(n) の近全域では |L_q(n,d)| = q^{(1/4+o(1)) n^2} となります。(fact:linear_count_theorem)

二値での改良下界。q=2 かつ d=⌊αn⌋（0<α<1）の場合、ランダムな生成行列に基づく構成により下界を改善できます。具体的に |L_2(n,d)| ≥ 2^{(φ(α)+o(1)) n^2} が成り立ち、φ(α) はパラメータ最適化で得られる関数です。これにより任意の 0<α<1 に対して従来の α^2/4 指数を厳密に上回る改善が得られます。(fact:random_generator_binary_improvement)