任意の n 次元ブール立方体 {0,1}^n の部分集合 F の密度が 1/8 であるとき、F 内の二つのベクトルの平均ハミング距離は少なくとも (n-3)/2 になることが示されました。さらに、等号になるのは F が (n-3) 次元のサブキューブ（直交子空間）である場合に限られます。

証明では F の指示関数 f = 1_F をフーリエ解析し、レベル 1 のフーリエ重み W₁[f] を上限 3/64 と結びつけました。この上限はコサイン和の不等式を使うことで導かれ、W₁[f] が 3/64 を超えることは不可能であることを示します。等号が成立すると、フーリエ係数の構造から F が (n-3) 次元サブキューブでなければならないことがわかります。

この結果は、1977 年に Ahlswede と Katona が提起した一般的な問題の特別なケースを解決し、Lei Yu が問いかけた具体的な疑問に対する解答にもなる重要な一歩です。

注記：本発見は数理的な証明に基づくものであり、実際の計算機実装や応用に関する結論を含まず、理論的な最小平均距離を明らかにしました。