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数学者たちは、ある有限集合 ℙ を擬フロビン数集合に含む数値半群の集合 C(ℙ) がコバリエイティ（共通のフロビン数を持つ半群の集合）であると証明した。さらに、擬フロビン数が ℙ で最大値がフロビン数になるような半群はすべて同じ最大値 max(ℙ) を共有する。
アルゴリズムは、根ノード Δ(C(ℙ)) = {0, max(ℙ)+1, →} から開始し、隣接ノードを段階的に生成する。各ノードでアペリー集合（Apéry set）を用い、乗算数(multiplicity)、擬フロビン数集合、特殊欠損数を計算する。表1は ℙ ＝ {9, 11} の場合を示し、木構造の各レベルと親子関係、擬フロビン数をリスト化している。レベル d は max(ℙ) − g(S) であり、g(S)は種族 S の種数である。
| d | msg(S) | parent | t(S) | PF(S) | |
|---|---|---|---|---|---|
| S0 | 0 | ⟨12,13,…,23⟩ | – | 11 | {1,2,…,11} |
| S1 | 1 |
| ⟨6,13,14,15,16,17⟩ |
| S0 |
| 5 |
| {7,8,9,10,11} |
| S2 | 1 | ⟨7,12,13,15,16,17,18⟩ | S0 | 6 | {5,6,8,9,10,11} |
| S3 | 1 | ⟨8,12,13,14,15,17,18,19⟩ | S0 | 7 | {4,5,6,7,9,10,11} |
| S4 | 1 | ⟨10,12,13,…,19,21⟩ | S0 | 9 | {2,3,…,9,11} |
| S5 | 2 | ⟨4,13,14,15⟩ | S3 | 3 | {9,10,11} |
| S6 | 2 | ⟨5,12,13,14,16⟩ | S4 | 4 | {7,8,9,11} |
| S7 | 2 | ⟨6,7,15,16,17⟩ | S2 | 4 | {8,9,10,11} |
| S8 | 2 | ⟨6,8,13,15,17⟩ | S3 | 4 | {7,9,10,11} |
| S9 | 2 | ⟨6,10,13,14,15,17⟩ | S4 | 5 | {4,7,8,9,11} |
| S10 | 2 | ⟨7,8,12,13,17,18⟩ | S3 | 5 | {5,6,9,10,11} |
| S11 | 2 | ⟨7,10,12,13,15,16,18⟩ | S4 | 6 | {3,5,6,8,9,11} |
| S12 | 2 | ⟨8,10,12,13,14,15,17,19⟩ | S4 | 7 | {2,4,5,6,7,9,11} |
| S13 | 3 | ⟨4,10,13,15⟩ | S12 | 3 | {6,9,11} |
| S14 | 3 | ⟨5,7,13,16⟩ | S11 | 3 | {8,9,11} |
| S15 | 3 | ⟨5,8,12,14⟩ | S12 | 3 | {7,9,11} |
| S16 | 3 | ⟨6,7,8,17⟩ | S10 | 3 | {9,10,11} |
| S17 | 3 | ⟨6,7,10,15⟩ | S11 | 3 | {8,9,11} |
| S18 | 3 | ⟨6,8,10,13,15,17⟩ | S12 | 5 | {2,4,7,9,11} |
| S19 | 3 | ⟨7,8,10,12,13⟩ | S12 | 4 | {5,6,9,11} |
| S20 | 4 | ⟨4,6,13,15⟩ | S18 | 3 | {2,9,11} |
| S21 | 4 | ⟨5,7,8⟩ | S19 | 2 | {9,11} |
| S22 | 4 | ⟨6,7,8,10⟩ | S19 | 2 | {9,11} |
コバリエイティは有限であることから、ℙ が有限ならば擬フロビン数集合が ℙ となる数値半群は有限個しか存在しない。表2は同じ例で、各半群の乗算数、埋め込み次元、タイプ、最小生成集合、C(ℙ)-ランク、および最大埋め込み次元かどうか、最大要素かどうかをまとめている。
| m(S) | e(S) | t(S) | 𝒞(𝒫)msg(S) | 𝒞(𝒫)rank(S) | MED | maximal | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| S0 | 12 | 12 | 11 | ∅ | 0 | yes | no |
| S1 | 6 | 6 | 5 | {6} | 1 | yes | no |
| S2 | 7 | 7 | 6 | {7} | 1 | yes | no |
| S3 | 8 | 8 | 7 | {8} | 1 | yes | no |
| S4 | 10 | 10 | 9 | {10} | 1 | yes | no |
| S5 | 4 | 4 | 3 | {4} | 1 | yes | no |
| S6 | 5 | 5 | 4 | {5} | 1 | yes | no |
| S7 | 6 | 5 | 4 | {6,7} | 2 | no | no |
| S8 | 6 | 5 | 4 | {6,8} | 2 | no | no |
| S9 | 6 | 6 | 5 | {6,10} | 2 | yes | no |
| S10 | 7 | 6 | 5 | {7,8} | 2 | no | no |
| S11 | 7 | 7 | 6 | {7,10} | 2 | yes | no |
| S12 | 8 | 8 | 7 | {8,10} | 2 | yes | no |
| S13 | 4 | 4 | 3 | {4,10} | 2 | yes | no |
| S14 | 5 | 4 | 3 | {5,7} | 2 | no | no |
| S15 | 5 | 4 | 3 | {5,8} | 2 | no | no |
| S16 | 6 | 4 | 3 | {6,7,8} | 3 | no | no |
| S17 | 6 | 4 | 3 | {6,7,10} | 3 | no | no |
| S18 | 6 | 6 | 5 | {6,8,10} | 3 | yes | no |
| S19 | 7 | 5 | 4 | {7,8,10} | 3 | no | no |
| S20 | 4 | 4 | 3 | {4,6} | 2 | yes | yes |
| S21 | 5 | 3 | 2 | {5,7,8} | 3 | no | yes |
| S22 | 6 | 4 | 2 | {6,7,8,10} | 4 | no | yes |
以上の結果は、擬フロビン数集合が与えられた数値半群の完全分類を提供し、整数代数ツールで実装可能なアルゴリズムを提示した。